cho x,y,z>0 và \(x+y+z=\sqrt{2019}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)
Những câu hỏi liên quan
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 2019.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}.\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)
P=\(\frac{x}{\left(\sqrt{x-\sqrt{y}}\right).\left(\sqrt{x-\sqrt{z}}\right)}+\frac{y}{\left(\sqrt{y-\sqrt{z}}\right).\left(\sqrt{y-\sqrt{x}}\right)}+\frac{z}{\left(\sqrt{z-\sqrt{y}}\right).\left(\sqrt{z-\sqrt{y}}\right)}\)
Cho x,y,z>0 và khác nhau đôi một.Chứng minh rằng giá trị của biểu thức Pkhông phụ thuộcvào giá trị của biến.
Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{x+z}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)
Biết rằng x,y,z là 3 số thực dương thay đổi có tổng bằng \(\sqrt{2}\)
Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc và giá trị của các biến
\(P=\frac{x}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}+\frac{y}{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}+\frac{z}{\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{y}\right)}\)
\(P=\frac{x\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)-y\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)+z\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}\)
\(P=\frac{x\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)-y\left[\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\right]+z\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}\)
\(P=\frac{\left(x-y\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)+\left(z-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)-\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left[\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\right]}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}=1\)
=> đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết x,y,z là các số thực dương thay đổi có tổng bằng \(\sqrt{2}\):
\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}.\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)
Cho x,y,z > 0 và xy + yz + zx = 1. Tính giá trị của biểu thức:
\(P=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
Có xy + yz + zx = 1
=> 1 + x2 = x2 + xy + yz + zx
1 + x2 = (x + y)(y + z)
Tương tự ta có:
1 + y2 = (y + x)(y + z)
1 + z2 = (z + x)(z + y)
Thay vào P, ta được:
\(P=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(P=xy+yz+zx+xy+yz+zx\)
\(P=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
Vậy P = 2
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x y z > 0. Tìm GTLN của \(P=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{y+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{z}{z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
theo bat dang thuc C-S ta co
\(P\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}+\frac{y}{y+\sqrt{yz}+\sqrt{yx}}+\frac{z}{z+\sqrt{zx}+\sqrt{zy}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
Vay GTLN cua P la 1 dau = khi x=y=z
Với x,y,z >0 và x+y+z = \(\sqrt{2}\)
Tìm GTNN của A = \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}.\left(\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}\right)\)